WikiZero - Магічний квадрат

1. Історично значимі магічні квадрати [ правити | правити код ]
2. Квадрат, знайдений в Кхаджурахо (Індія) [ правити | правити код ]
3. Магічний квадрат Ян Хуея (Китай) [ правити | правити код ]
4. Квадрат Альбрехта Дюрера [ правити | правити код ]
5. Квадрати Генрі Е. Дьюдени і Аллана У. Джонсона-мл. [ правити | правити код ]
6. Квадрати з додатковими властивостями [ правити | правити код ]
7. Метод терас [ правити | правити код ]
8. Інші способи [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

Магічний, або чарівний квадрат - квадратна таблиця n × n {\ displaystyle n \ times n} , Заповнена n 2 {\ displaystyle n ^ {2}} різними числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці і на обох діагоналях однакова. Якщо в квадраті рівні суми чисел тільки в рядках і стовпцях, то він називається полумагические. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений натуральними числами від 1 {\ displaystyle 1} до n 2 {\ displaystyle n ^ {2}} . Магічний квадрат називається асоціативним або симетричним, якщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n 2 + 1 {\ displaystyle n ^ {2} +1} .

Нормальні магічні квадрати існують для всіх порядків n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1} , За винятком n = 2 {\ displaystyle n = 2} , Хоча випадок n = 1 {\ displaystyle n = 1} тривіальний - квадрат складається з одного числа. Мінімальний нетривіальний випадок показаний нижче, він має порядок 3.

Сума чисел в кожному рядку, стовпці і на діагоналях називається магічною константою, M. Магічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою

M (n) = n (n 2 + 1) 2 {\ displaystyle M (n) = {\ frac {n (n ^ {2} +1)} {2}}}

Перші значення магічних констант наведені в наступній таблиці (послідовність A006003 в OEIS ):

Порядок n

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M (n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

Історично значимі магічні квадрати [ правити | правити код ]

Квадрат Ло Шу [ правити | правити код ]

Ло Шу ( кит. трад. 洛 書, упр. 洛 书, піньінь : Luò shū) Єдиний нормальний магічний квадрат 3 × 3. Був відомий ще в Стародавньому Китаї , Перше зображення на черепаховому панцирі датується 2200 р. До н.е. е.

Квадрат, знайдений в Кхаджурахо (Індія) [ правити | правити код ]

Найраніший унікальний магічний квадрат виявлено в написі XI століття в індійському місті Кхаджурахо :

7 12 1 14 2 13 8 11

16 3 10 5 9 6 15 4

Це перший магічний квадрат, що відноситься до різновиду так званих «Диявольських» квадратів [1] .

Магічний квадрат Ян Хуея (Китай) [ правити | правити код ]

У XIII в. математик Ян Хуей зайнявся проблемою методів побудови магічних квадратів. Його дослідження були потім продовжені іншими китайськими математиками. Ян Хуей розглядав магічні квадрати не тільки третього, але і високих порядків. Деякі з його квадратів були досить складні, проте він завжди давав правила для їх побудови. Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку, причому останній виявився майже асоціативним (в ньому тільки дві пари центрально протилежних чисел не дають суму 37) [2] :

27292413369112022311832257 3 21 23 14 16 34 30

12 5 28 6 15 17 26 19 1 24 33 35 8 10

Квадрат Альбрехта Дюрера [ правити | правити код ]

Магічний квадрат 4 × 4, зображений на гравюрі Альбрехта Дюрера « меланхолія I », Вважається найбільш раннім в європейському мистецтві [3] . Два середніх числа в нижньому ряду вказують дату створення гравюри ( 1514 ).

163213510118 9 6 7 12 4 15 14

1

Сума чисел на будь-який горизонталі, вертикалі і діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2 × 2, в центральному квадраті (10 + 11 + 6 + 7), в квадраті з кутових клітин (16 + 13 + 4 + 1 ), в квадратах, побудованих «ходом коня» (2 + 12 + 15 + 5 та 3 + 8 + 14 + 9), в вершинах прямокутників, паралельних діагоналям (2 + 8 + 15 + 9 і 3 + 12 + 14 + 5 ), в прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3 + 2 + 15 + 14 і 5 + 8 + 9 + 12). Більшість додаткових симетрій пов'язано з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.

Квадрати Генрі Е. Дьюдени і Аллана У. Джонсона-мл. [ правити | правити код ]

Якщо в квадратну матрицю n × n заноситься не строго натуральний ряд чисел, то даний магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічних квадрата, заповнені простими числами (Хоча 1 в сучасній теорії чисел не вважається простим числом). Перший має порядок n = 3 (квадрат Дьюдени); другий (розміром 4x4) - квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку двадцятого століття [4] :

3 61 19 37 43 31 5 41

7 11 73 29 67 17 23 13

Є ще кілька подібних прикладів:

17 89 71 113 59 5 47 29 101 1 823 821 809 811 797 19 29 313 31 23 37 89 83 211 79 641 631 619 709 617 53 43 739 97 227 103 107 193 557 719 727 607 139 757 281 223 653 499 197 109 113 563 479 173 761 587 157 367 379 521 383 241 467 257 263 269 167 601 599 349 359 353 647 389 331 317 311 409 307 293 449 503 523 233 337 547 397 421 17 401 271 431 433 229 491 373 487 461 251 443 463 137 439 457 283 509 199 73 541 347 191 181 569 577 571 163 593 661 101 643 239 691 701 127 131 179 613 277 151 659 673 677 683 71 67 61 47 59 743 733 41 827 3 7 5 13 11 787 769 773 419 149 751

Останній квадрат, побудований в 1913 р Дж. М. Мансі, примітний тим, що він складений з 143 послідовних простих чисел за винятком двох моментів: залучена одиниця, яка не є простим числом, і не використано єдине парне просте число 2.

Квадрати з додатковими властивостями [ правити | правити код ]

Пандіагональних магічний квадрат [ правити | правити код ]

Пандіагональних або диявольський квадрат - магічний квадрат, в якому також з магічною константою збігаються суми чисел по ламаним діагоналях ( англ. ) (Діагоналі, які утворюються при згортанні квадрата в тор ) В обох напрямках.

Існує 48 диявольських квадратів 4 × 4 в стандартній формі Френікля [Fr] - з точністю до поворотів і відображень. Пандіагональних квадрат зберігає властивості при паралельномуперенесення рядків або стовпців. Тому одиницю можна перемістити в лівий верхній кут. Таких пандіагональних квадратів на площині 12. Вони наведені нижче:

7 2 16 9 12 13 3 6 1 8 10 15 12 13 3 6 7 2 16 9 14 11 5 4 1 12 7 14 15 6 9 4 10 3 16 5 8 13 2 11 1 14 7 12 15 4 9 6 10 5 16 3 8 11 2 13 1 8 13 12 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6 1 12 13 8 14 7 2 11 4 9 16 5 15 6 3 10 1 12 13 8 15 6 3 10 4 9 16 5 14 7 2 11 1 8 11 14 15 10 5 4 6 3 16 9 12 13 2 7 1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4 1 14 11 8 1 4 5 10 6 9 16 3 12 7 2 13 1 12 6 15 14 7 9 4 11 2 16 5 8 13 3 10

На торі кожної четвірці таких квадратів відповідає один квадрат. Це відбувається тому, що якщо розрізати тор, починаючи з одиничною клітини як кутовий, то це можна зробити чотирма способами, зіставляючи кожному з чотирьох кутів одиничної клітини кут плоского квадрата. Тому пандіагональних квадратів на торі всього 3. Для зображення торического квадрата на площині можна використовувати будь-який з відповідною йому четвірки.

Пандіагональних квадрати існують для непарного порядку n> 3, для будь-якого порядку подвійний парності n = 4k (k = 1,2,3 ...) і не існують для порядку одинарної парності n = 4 k + 2 {\ displaystyle n = 4k + 2} (K = 1, 2, 3, ... {\ displaystyle k = 1,2,3, \ dots} ).

Пандіагональних квадрати четвертого порядку мають ряд додаткових властивостей, за які їх називають досконалими. Скоєних квадратів непарного порядку не існує. Серед пандіагональних квадратів подвійний парності вище 4 є досконалі [5] .

Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600 [ Джерело не вказано 31 день ]. З урахуванням торических паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів. Один з них показаний нижче.

1 15 24 8 17 9 18 2

11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14

Якщо пандіагональних квадрат ще й асоціативний, то він носить назву ідеальний [6] . Приклад ідеального магічного квадрата:

21 32 70 26 28 69 22 36 65 40 81 2 39 77 7 44 73 6 62 10 51 58 18 47 57 14 52 66 23 34 71 19 33 67 27 29 4 45 74 3 41 79 8 37 78 53 55 15 49 63 11 48 59 16 30 68 25 35 64 24 31 72 20 76 9 38 75 5 43 80 1 42 17 46 60 13 54 56 12 50 61

Відомо, що не існує ідеальних магічних квадратів порядку n = 4k + 2 і квадрата порядку n = 4. У той же час існують ідеальні квадрати порядку n = 8 [7] . Методом побудови складових квадратів можна побудувати на базі даного квадрата восьмого порядку ідеальні квадрати порядку n = 8k, k = 5,7,9 ... і порядку n = 8 ^ p, p = 2,3,4 ... [8] У 2008 р розроблений комбінаторний метод побудови ідеальних квадратів порядку n = 4k, k = 2, 3, 4, ...

Метод терас [ правити | правити код ]

Описано Ю. В. Чебраковим в «Теорії магічних матриць».

Для заданого непарного n накреслив квадратну таблицю розміром n на n. Влаштуємо до цієї таблиці з усіх чотирьох сторін тераси (пірамідки). В результаті отримаємо ступінчасту симетричну фігуру.

Починаючи з лівої вершини ступінчастою фігури, заповнимо її діагональні ряди послідовними натуральними числами від 1 до N 2 {\ displaystyle N ^ {2}} .

Після цього для отримання класичної матриці N-го порядку числа, що знаходяться в терасах, поставимо на ті місця таблиці розміром NxN, в яких вони опинилися б, якщо переміщати їх разом з терасами до того моменту, поки підстави терас НЕ долучаться до протилежної сторони таблиці.

3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23

Крім того, даний спосіб є вірним і в тому випадку, якщо магічний квадрат потрібно скласти не з чисел від 1 до N, а й від K до N, де 1 <= K <N.

Інші способи [ правити | правити код ]

Правила побудови магічних квадратів діляться на три категорії в залежності від того, який порядок квадрата: непарне, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює учетверенному непарному числу. Загальний метод побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко застосовуються різні схеми. [9] [10] Знайти всі магічні квадрати порядку n {\ displaystyle n} вдається тільки для n ≤ 4 {\ displaystyle n \ leq 4} , Тому представляють великий інтерес приватні процедури побудови магічних квадратів при n> 4 {\ displaystyle n> 4} . Найпростіше конструкція для магічного квадрата непарного порядку. Потрібно в клітку з координатами (i, j) {\ displaystyle (i, j)} (Де i {\ displaystyle i} і j {\ displaystyle j} змінюються від 1 до n {\ displaystyle n} ) Поставити число

1 + ((i + j - 1 + (n - 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n). {\ Displaystyle 1 + ((i + j-1 + (n-1) / 2) {\ bmod {n}}) n + ((i + 2j + 2) {\ bmod {n}}).} [ Джерело не вказано 3132 дня ]

Ще простіше побудова виконати наступним чином. Береться матриця nxn. Усередині її будується ступінчастий ромб. У ньому осередку зліва вгору по діагоналях заповнюються послідовним поруч непарних чисел. Визначається значення центрального осередку C. Тоді в кутах магічного квадрата значення будуть такими: верхня права клітинка C-1; нижня ліва комірка C + 1; нижня права комірка Cn; верхня ліва комірка C + n. Заповнення порожніх клітинок в східчастих кутових трикутниках ведеться з дотриманням простих правил: 1) по рядках числа зліва направо поступово збільшуються на n + 1; 2) за стовпцями зверху вниз числа збільшуються з кроком n-1.

Також розроблені алгоритми побудови пандіагональних квадратів [11] [12] і ідеальних магічних квадратів 9x9. [13] [14] Ці результати дозволяють будувати ідеальні магічні квадрати порядків n = 9 (2 k + 1) {\ displaystyle n = 9 (2k + 1)} для k = 0, 1, 2, 3, ... {\ displaystyle k = 0,1,2,3, \ dots} . [6] [15] Існують також загальні методи компонування ідеальних магічних квадратів непарного порядку n> 3 {\ displaystyle n> 3} . [16] [17] Розроблено методи побудови ідеальних магічних квадратів порядку n = 8k, k = 1,2,3 ... [18] і досконалих магічних квадратів. [19] Пандіагональних і ідеальні квадрати парному-непарного порядку вдається скомпонувати лише в тому випадку, якщо вони нетрадиційні. [20] [21] [22] Проте, можна знаходити майже пандіагональних квадрати [23] Знайдена особлива група ідеально-скоєних магічних квадратів (традиційних і нетрадиційних) [24] .

Методично суворо відпрацьовані магічні квадрати непарного порядку і порядку подвійний парності. [25] Формалізація квадратів порядку одинарної парності набагато важче, що ілюструють такі схеми:

18 24 5 6 12 22 3 9 15 16 1 7 13 19 25 10 11 17 23 4 14 20 21 2 8 64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 100 99 93 7 5 6 4 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40 60 52 48 44 56 55 47 43 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

Існують кілька десятків інших методів побудови магічних квадратів

Відомо що шахи , Як і магічні квадрати, з'явилися десятки століть тому в Індії . Тому не випадково виникла ідея шахового підходу до побудови магічних квадратів. Вперше цю думку висловив Ейлер . Він спробував отримати повний магічний квадрат безперервним обходом коня. Однак, це зробити йому не вдалося, оскільки в головних діагоналях суми чисел відрізнялися від магічної константи. Проте шахова розбивка дозволяє створювати будь-магічний квадрат. Цифри заповнюються регулярно і через підрядник з урахуванням кольору осередків.

• Я. В. Успенський. Вибрані математичні розваги. - Сівач, 1924.
• Б. А. Кордемский. математична кмітливість . - М.: ГІФМЛ, 1958. - 576 с.
• М. М. Постніков. Магічні квадрати. - М.: Наука, 1964.
• Н. М. Рудін. Від магічного квадрата до шахів. - М.: Фізкультура і спорт, 1969.
• Е. Я. Гуревич. Таємниця стародавнього талісмана. - М.: Наука, 1969.
• М. Гарднер. Математичні дозвілля. - М.: Мир, 1972.
• Енциклопедичний словник юного математика / Упоряд. А. П. Савін. - М.: Педагогіка, 1989. - 352 с. - ISBN 5-7155-0218-7 .
• Ю. В. Чебраков . Магічні квадрати. Теорія чисел, алгебра, комбінаторний аналіз. - СПб. : СПб гос. техн. ун-т, 1995.
• Ю. В. Чебраков. Теорія магічних матриць . - СПб. , 2008.
• М. Гарднер. Глава 17. Магічні квадрати і куби // Подорож у часі . - М.: Мир, 1990. (Недоступна посилання)
• Чірказов Д. Літерні магічні квадрати як симетричні текстові масиви. // Сучасні наукові дослідження та інновації. - № 11 Листопад 2012