Sceptic-Ratio. Естетична геометрія Револьт Піменова

1. Естетична геометрія Револьт Піменова

Олег Акімов

Заслуга автора витонченої геометрії полягає в тому, що він розробив цілком оригінальну конструктивну теорію, засновану на базі кіл і сфер з опорою на симетричні, групові та фрактальні перетворення. Їм були вказані правила побудови естетично привабливих конструкцій і доведено чимало суворих теорем. Його теоретичні розробки та комп'ютерні програми можуть бути з успіхом використані для навчання учнів і студентів спеціальних розділів математичних дисциплін, тісно пов'язаних з комп'ютерною графікою, програмуванням і дизайном. Виконана Револьт Піменова робота, безсумнівно, має важливе прикладне значення. Вона виконана на хорошому методичному і дидактичному рівні. Рекомендую, Олег Акімов.

Думаю, в предикат естетична Піменов вкладає звичайний життєвий сенс. Він хоче розповісти нам про прекрасних, якщо завгодно, витончених або просто симпатичних геометричних конструкціях, які радують око. Але от невдача: поняття краси, як і поняття доброти або корисності, - суб'єктивно, але ж математика - штука суто об'єктивна. Що ж виходить? Зник чоловік - і немає ніякої красивою математики, оскільки цією красою нікому буде милуватися. Для кого ця краса - для Господа Бога? Тут виходить як з бензопилою: вона корисна людині, але її корисність для їжака - сумнівна, а для Бога - тим більше.

До сих пір я відмовляв красі в об'єктивності, тобто в праві реального існування. Не так давно я нещадно критикував золотошукачів і гармоністів в особі Стахова, Сороко, Боднара та Семашко , А так само їх критиків за неповноту вже їх критики; тут я маю на увазі Беляніна , Василенко і Радзюкевіч . Дотримувався того, характерного для мене скептичного погляду, що в архітектурі, наприклад, божественна пропорція, по-перше, використовується порівняно рідко, по-друге, якщо навіть деталі будь-якого будови співвідносяться у зазначеній пропорції, великого витонченості вона йому не надає.

Але ось відкриваємо опус Піменова «Естетична геометрія або теорія симетрій», який відразу починається з золотого перетину. Від нього автор переходить до чудового трикутнику, зірці, ірраціональним числам. Він бере як само собою зрозуміле той незаперечний факт, що золота пропорція - це завжди красиво. Те, що в ній немає нічого потворного, поручитися можна, але чи пов'язана вона з поняттям прекрасного - річ досить спірна.

Перш, мені здається, потрібно розібратися з самим поняттям краси, наскільки воно об'єктивно або суб'єктивно. До сих пір я ставив його в один ряд з поняттями корисності або доброти, оскільки всі три поняття приблизно рівноправні і застосовні тільки до суб'єкта. Але ось задаюся дитячим питанням: навіщо самці-павичі розпускають хвости перед самками? Невже ці примітивні створення розбираються в гармонійному переливе яскравих кольорів?

Візьміть оперення птахів: воно теж виглядає набагато симпатичніше оперення курей. Не тільки птиці, а й комахи (метелики), риби (подивіться на самців гуппі), ссавці (грива лева, рогу оленя) - всі вони прагнуть здобути перемогу в естетичній сфері. Навіть безмозкі рослини і ті в період статевого дозрівання, перед своїм заплідненням, розпускають квіти об'єктивно гарної форми і забарвлення.

Переконую себе: тут немає місця для телеології, тобто для існування прихованих сил, що направляють живі істоти шляхом придбання якоїсь гармонійної форми; тим більше, тут немає відвертої теології. Людина невіруюча скаже, що в даному випадку діє природний відбір по Дарвіну. Нехай так, заперечить йому віруючий, але ж така відповідь не вирішує проблему краси в принципі.

Дійсно, проблема прекрасного полягає зовсім не в цьому. Задамося іншим банальним питанням: як з величезної маси дівчат виділити саму симпатичну? Дуже просто: дайте такий же величезній масі хлопців можливість проголосувати. Та, що набере найбільше очок, і буде шуканої красунею. Хіба це не доводить, що краса - річ об'єктивна. Є, звичайно, якісь суб'єктивні переваги, не всі проголосують за переможницю, але фактор об'єктивності жіночої краси неможливо заперечувати.

Підемо далі і скажемо більше: практично всі істоти так чи інакше реагують на красивість, яка чомусь для всього живого виявляється приблизно одна і та ж. Справді, хіба бджоли милуються квітами і їх приємними запахами не по тій же самій причині, що і ми, люди?

Від філософів-суб'єктивістів можна почути, що у жаби інші уявлення про красу, ніж у людини. Однак у світлі сказаного даний приклад виглядає вже сумнівним. Швидше, вид жаби, павука, змії і інших тварин неприємний, оскільки зближення з ними не обіцяє нам нічого доброго. Неприємні запахи, що випускаються, наприклад, клопами і особливо скунсами неможливо терпіти. Неприємні запахи, покликані відлякати тих, хто для клопа або скунса становить загрозу.

Здається, все говорить нам про те, що прекрасне, як і потворне, містить неабияку частку об'єктивності, не залежну від сприйняття окремо взятого суб'єкта. Але в чому конкретно укладено прекрасне? Добре б вказати об'єктивний критерій оцінки краси.

Мені здається, що цю проблему можна було б легко вирішити, якщо допустити існування Бога або інший Вищої Сили, яка, як вчать проповідники, створила весь оточуючий нас світ найпрекраснішим чином. Але мені, безпросвітного атеїстові, важко повірити в існування світлого трансцендентного істоти. Це невіра в Верховну Особу, Космічний Розум, гегелівський Абсолютний дух - не важливо, як назвати цю могутню енергію - сидить в мені настільки глибоко і міцно, що ніякої проповідник, будь він самим Ісусом Христом, що не виб'є з мене цей тотальний скептицизм.

Я вже було втратив надію відшукати мірило об'єктивного прекрасного, як раптом на допомогу мені приходить релігійна людина, Револьт Піменов, і каже: я вирішив твою проблему прекрасного без участі Вищого Розуму. Чим приваблюють нас чудові форми? Своєю правильністю, - чи не так? - що на мові математики виражається симетричними груповими і фрактальні перетвореннями сфер і околиць.

Чудове рішення. Справді, не Господь Бог керує законами філлотаксису; чи не він розташував насіння в кошику соняшнику відповідно до числами Фібоначчі. Тут діють приблизно ті ж природні, самоорганізуються сили, які змушують елементарні осередки алмазу кристалізуватися в тетраєдри, а осередки кухонної солі - в куби.

Отже, краса - це симетрія. Піменов далі роз'яснює: в одноманітному плоскому орнаменті її трохи, в об'ємному складному фрактале, побудованому з сфер її набагато більше. Чому саме сфер і околиць в плоскому випадку, а не точками, лініями і площинами? Тому, роз'яснює Піменов, що точка і лінія це два граничних випадки окружності. Аналогічно, точка і площина щодо сфери. З цих ідеалів, визнаних ще античними математиками і філософами, автор естетичної геометрії виводить нескінченну різноманітність красивих форм.

Добре, нехай так, тільки от заковика. Як бути з еліпсом, параболою, гіперболою, равликом Паскаля і превеликим безліччю інших кривих, отриманих на базі рівнянь вищих порядків? Вони що - виглядають страшними потворами в порівнянні з колом? Це стосується плоского випадку, але те ж саме питання можна задати щодо просторових поверхонь.

Отже, закрався у мене сумнів щодо відправних принципів геометричної філософії Піменова. Відчуваю, що він зробив невиправдано сильний акцент на окружності і сфері, стверджуючи, ніби тільки вони здатні створювати привабливі конструкції.

Я досить багато займався групами і фракталам . Нітрохи не сумніваюся, що до цих галузей знань мене вабила та ж любов до прекрасного, що і Піменова. Тільки адже я не ставив коло і сферу в якості відправних геометричних фігур. Безліч людей в усьому світі займається фрактальними побудовами з чисто естетичних міркувань, нічого не знаючи про круговому і кульовому принципі Піменова.

У Мережі можна знайти безліч сумнівних тверджень, пов'язаних з числами Фібоначчі і золотий пропорцією. На цьому сайті мою критику золотошукачів і гармоністів читайте в розділі «Кінець науки», сторінки: 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | . У березні цього року (2013) я розмістив в Мережі фільм про числах та спіралі Фібоначчі: http://youtu.be/5RmJjxwi4Qw . У цьому фільмі розповідається, що числова послідовність Фібоначчі нічим особливим не виділяється з нескінченної кількості інших послідовностей, які мають рівно тими ж властивостями, що і ряд Фібоначчі. Спіраль Фібоначчі (в дійсності, він не мав до неї жодного стосунку), взагалі, не є математичним об'єктом. Жоден природний об'єкт - будь то черепашка, роги барана або спіральна галактика - навіть близько не нагадує цю спіраль (подробиці тут і тут .

Завдання Фібоначчі про розмноження кроликів. Хтось помістив пару кроликів в деякий місце, обгороджене з усіх боків стінками, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів справляє на світло іншу пару, а народжують кролики з другого місяця після свого народження.

«Золота» спіраль або спіраль Фібоначчі

Наутілус Помпіліус (Nautilus pompilius)

Нам розповідають, ніби роги козла мають відношення до золотого перетину

Що стосується так званого золотого перетину. З точки зору математики, воно цікаво, оскільки дана пропорція володіє багатьма чудовими властивостями. Коли говорять про її "красивості" або навіть "божественності", мають на увазі саме ці не для всіх очевидні властивості. Таким чином, справа не стільки у зовнішній красивості золотий пропорції і чисел Фібоначчі, скільки в їх особливих математичних властивості.

Пропорція і числа, яких ми зараз торкнулися, відомі давно. Перед ними благоговеют ті, хто трепетно ​​ставляться до всього, що пов'язано з сивою давниною. Вони думають, що сучасні люди інтелектуально неповноцінні, поступаються древнім мудрецям в здібностях, талант і нічого путнього створити не можуть. Зараз ми покажемо, що це не так.

Британія, корабельна держава, хотіла знати довжину берегової лінії, але несподівано натрапила на одну неприємну проблему. Якщо взяти за одиницю довжини кілометр, то довжина берегової лінії виходила одна; якщо вимірювальним інструментом буде метрова лінійка, то довжина берегової лінії ставала іншою, у багато разів більшою. Питання: який вимірювальної одиницею потрібно користуватися. Відповідь: все залежить від ступеня порізаності берегової лінії.

Дане завдання породила цілу область математики, пов'язану з фрактальної геометрії і комп'ютерною графікою. Її першим дослідником був Бенуа Мандельброт, який вивчав також особливе безліч, яке отримало його ім'я.

Бенуа Мандельброт і його безліч

Безліч Мандельброта не є фракталом. Його фрагменти не строго подібні вихідного безлічі, але при багаторазовому збільшенні певні частини графічної конструкції все більше схожі один на одного. Усередині безлічі Мандельброта можна виділити нескінченну кількість елементарних фігур. Коло і кардіоїда першими кидаються в очі, розміри яких поступово зменшується, прагнучи до нуля. Кожен з цих фігур, а також овали і завитки-спіралі мають свій набір фігур менших розмірів. На кожному наступному масштабному рівні з'являються фігури, яких не було на попередньому рівні. Число рівнів - нескінченно.

Піменов стверджує, що краса - це симетрія. Нерідко в графічних зображеннях фракталів і безлічі Мандельброта сувору симетрію розгледіти не вдається. У багатьох випадках про неї доводиться говорити як про приблизну. Кристалічні мінерали, наприклад, вже згаданий алмаз або навіть кухонна сіль, виглядають не те, щоб красиво, але якось інтригуюче і заманливо. Чи не ховається за цим естетичним терміном щось інше, психологічне, а саме: цікавість дізнатися, що стоїть за предметом, який називають красивим. Якщо це кристал, цікаво осягнути закони його симетрії.

Піменов стверджує, що краса - це симетрія. Нерідко в графічних зображеннях фракталів і безлічі Мандельброта сувору симетрію розгледіти не вдається. У багатьох випадках про неї доводиться говорити як про приблизну. Кристалічні мінерали, наприклад, вже згаданий алмаз або навіть кухонна сіль, виглядають не те, щоб красиво, але якось інтригуюче і заманливо. Чи не ховається за цим естетичним терміном щось інше, психологічне, а саме: цікавість дізнатися, що стоїть за предметом, який називають красивим. Якщо це кристал, цікаво осягнути закони його симетрії.

Написаний вище текст, загалом, відповідає тексту, який я вимовляю за кадром в півгодинному відеоролику: