Колись вже досить давно, коли я вчилася класі у восьмому, моя вчителька математики на гуртку показала, як в стовпчик можна витягувати квадратний корінь. Обчислити корінь можна з довільною точністю, знайти скільки завгодно цифр в його десяткового запису, навіть якщо він виходить ірраціональним. Алгоритм запам'ятався, а питання залишилися. Незрозуміло було, звідки взявся метод і чому він дає вірний результат. У книжках цього не було, а може, просто не в тих книжках шукала. У підсумку, як і багато з того, що на сьогоднішній день знаю і вмію, вивела сама. Ділюся своїм знанням тут. До речі сказати, до сих пір не знаю, де наведено обґрунтування алгоритму)))
Отже, спочатку на прикладі розповідаю, "як працює система", а потім пояснюю, чому вона насправді працює.
Візьмемо число (число взято "зі стелі", тільки що в голову прийшло).
1. Розбиваємо його цифри на пари: ті, що стоять зліва від коми, групуємо за дві справа наліво, а ті, що правіше - по дві зліва направо. Отримуємо.
2. Витягуємо квадратний корінь з першої групи чисел зліва - в нашому випадку це (ясно, що точно корінь може не вилучатись, беремо число, квадрат якого максимально близький до нашого числа, освіченій першою групою цифр, але не перевершує його). У нашому випадку це буде число. Записуємо у відповідь - це старша цифра кореня.
3. Будуємо число, яке стоїть вже у відповіді - це - в квадрат і віднімаємо з першої зліва групи цифр - з числа. У нашому випадку залишається.
4. приписують справа наступну групу з двох цифр:. Число, яке вже стоїть у відповіді, множимо на, отримуємо.
5. Тепер слідкуйте уважно. Нам потрібно до числа справа приписати одну цифру, і число помножити на, тобто на ту ж саму приписанную цифру. Результат повинен бути якомога ближче до, але знову-таки не більше цього числа. У нашому випадку це буде цифра, її записуємо у відповідь поруч з, праворуч. Це наступна цифра в десяткового запису нашого квадратного кореня.
6. З віднімаємо твір, отримуємо.
7. Далі повторюємо знайомі операції: приписуємо до справа наступну групу цифр, множимо на, до отриманого числа> приписуємо справа одну цифру, таку, щоб при множенні на неї вийшло число, менше, але найбільш близький до нього - це цифра - наступна цифра в десяткового запису кореня.
8. Далі у нас в числі варто десяткова точка, ставимо таку ж в результаті після цифри. Продовжуємо процес, зносячи по дві цифри після крапки. Ясно, що можна зносити і два нуля.
Обчислення запишуться в такий спосіб:
А тепер обіцяне пояснення. Алгоритм заснований на формулі
Перший раз віднімаємо квадрат, далі, приписуючи по одній цифрі до результату, до числа під коренем, тим самим, приписуємо дві десяткових цифри. Звідси розбиття на пари (видно з формули). Віднявши квадрат, необхідно віднімати далі числа виду, де - подвоєний відомий на даний момент результат, приписуючи до нього цифру, отримуємо, множимо на цю ж саму цифру, маємо. От і все!
PS Гарну модифікацію описаного методу вилучення квадратного кореня, яку запропонував С.В. Савич, можна знайти тут: http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/
